УДК 519.67

 

ВИЗУАЛИЗАЦИЯ ОКРУЖНОСТЕЙ АПОЛЛОНИЯ ПРИ ГЕОМЕТРИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИИ МЕТОДА ПАРАЛЛЕЛЬНОГО СБЛИЖЕНИЯ НА ПЛОСКОСТИ

© А.А. Дубанов1

1 ФГБОУ ВО Бурятский государственный университет, ул. Смолина, 24 "а", г. Улан-Удэ, Россия

1Е-mail alandubanov@mail.ru

 

Аннотация.

В данной статье представлена квазидискретная геометрическая модель задачи  преследования с простым движением  на плоскости методом параллельного сближения. Для каждого момента времени строится окружность Аполлония и связанные с ней характеристические линии. В данной геометрической модели для предопределенной траектории цели находится оптимальная траектория преследователя. Моделирование производилось в системе компьютерной математики MathCAD. По результатам моделирования был изготовлен анимационный ролик, где можно просмотреть перемещение и преобразование окружности Аполлония и связанных с ней характеристических точек и линий.

 

Ключевые слова: Задача преследования. Моделирование траекторий. Преследующий объект. Преследуемый объект.

 

UDC 519.67

VISUALIZATION OF THE APOLLONIUM CIRCLE DURING GEOMETRIC SIMULATION OF THE METHOD OF PARALLEL APPROXIMATION ON THE PLANE

 A.A. Dubanov1

1 Buryat State University, 24a Smolin St., Ulan-Ude, Russia

t1Е-mail alandubanov@mail.ru

 

 

Abstract.

This article presents a quasidiscrete geometric model of the problem of simple pursuit on a plane by the method of parallel approximation. For each moment of time, the Apollonius circle and associated characteristic lines are constructed. In this geometric model, for the predetermined target path, the optimal path of the pursuer is found. Modeling was performed in the computer mathematics system MathCAD. Based on the simulation results, an animated video was made, where you can view the movement and transformation of the Apollonius circle and associated characteristic points and lines.

 

Keywords: The task of persecution. Trajectory modeling. Haunting Object. The pursued object.

 

1.     Введение

В решении задач простого преследования на плоскости с использованием стратегии параллельного сближения используются окружности Аполлония.

Простым движением точки называется движение, когда пройденное расстояние  есть линейная функция времени: , где  – модуль скорости точки.

Окружность Аполлония – это геометрическое место точек, когда  (Рисунок 1).

 

 

 

Рисунок 1Окружность Аполлония

 

Figure 1 - Circum Apollonius

 

Применительно к задачам преследования окружность Аполлония имеет следующий смысл. Если преследователь и цель в определенный момент времени имеют положения на плоскости  и , и значения скоростей, равные по модулю  и , соответственно.

Тогда геометрическое множество точек , как место возможных встреч преследователя  с целью , есть окружность радиуса   с центром в точке  [1], [2].

Направления скоростей преследователя и цели являются взаимосвязанными. То есть направление скорости цели диктует направление скорости преследователя или наоборот, направление преследователя определяет направление цели, чтобы обеспечить встречу в точках, принадлежащих окружности Аполлония.

Целью данной статьи является формализация и алгоритмизация метода параллельного сближения преследователя и цели.

 

2.     Расчет параметров окружности Аполлония

То, что данное множество точек  является окружностью, было известно еще древним математикам, но мы приведем выкладки расчета окружности и ее центра.

Введем ортонормированную систему координат  с центром в точке  (Рисунок 1), вектор  сонаправлен вектору . Пусть , а , где . Тогда , а . Из условия того, что преследователь и цель приходят в точку  одновременно, имеем следующее: . Откуда следует, что . После возведения в квадрат, раскрытия скобок получаем уравнение:

Полученное уравнение в системе  с центром в точке   описывает окружность  радиуса  и с центром в точке :

Отметим одну характеристическую точку, называемой точкой Аполлония:

 

3.     Моделирование итерационного процесса задачи преследования

Факт того, стратегия преследователя в задаче преследования при помощи метода параллельного сближения, является оптимальной в плане минимизации времени поимки цели доказан в работах Петросяна Л.О. [1-8].

 

 

Рисунок 2 – Итерационная схема

 

Figure 2 - Iterative scheme

 

Будем считать, что для нашего итерационного процесса известны начальные данные  и . Скорости преследователя и цели постоянны и равны по модулю  и , соответственно. Траектория цели в нашей модели является предопределенной, поэтому мы сможем рассчитать массив точек , где дистанция между точками  и  равна:

 

Итерационная схема расчета координат преследователя, координат центров окружностей Аполлония, радиусов окружностей Аполлония, характеристических точек представлена на рисунке 2.

Координаты преследователя на  - ом шаге итераций будут такие:

Радиус окружности Аполлония будет таким:

Центр окружности Аполлония рассчитывается так:

 

Координаты точки  есть продукт решения системы уравнений относительно непрерывного параметра :

Разрешенная относительно параметра , вышеуказанная система представляет собой корни квадратного уравнения, вывод которых в данной статье мы приводить не будем из-за громоздких выражений.

 В тестовой программе, написанной по материалам статьи, решение квадратного уравнения написано в виде отдельной процедуры – функции. С текстом тестовой программы можно ознакомиться здесь [].

То, что отрезок  останется параллельным отрезку , не вызывает сомнений. Рассмотрим первый отрезок .   Координаты точек  и  равны (Рисунок 3):

 

 

 

Рисунок 3 – Параллельное сближение преследователя и цели

 

Figure 3 - Parallel approach of the pursuer and the target

Исходя из того, что преследователь и цель должны придти в точку  на окружности Аполлония одновременно, мы вправе сделать вывод, что:

Далее:

Другими словами, вектор  сонаправлен вектору  и перпендикулярен вектору нормали  (Рисунок 3).

 

4.     Результаты моделирования задачи преследования

методом параллельного сближения

Нами была написана тестовая программа, скриншот результатов работы которой, показан на рисунке 4. На рисунке 4 видно отрезки  образуют однопараметрическую последовательность параллельных  линий.

 

Рисунок 4 – Перехват цели

 

Figure 4 - Interception of the target

 

Также на рисунке 4 показано, точки  принадлежат одной прямой. Показан подвижный треугольник , который сходится к точке встречи к точке встречи преследователя и цели.

Глядя на рисунок 4, а именно на однопараметрическое множество окружностей Аполлония, сходящееся к точке встречи, может возникнуть обманчивое впечатление, все множество окружностей все касается в точке встречи преследователя и цели. В следующей модели с иной траекторией цели мы покажем, что это не так.

Рисунок 4 дополнен ссылкой на анимированное изображение [22], где можно просмотреть как изменяется во времени расположение преследователя, цели, точек на окружности Аполлония.

Итак, ситуацию, представленную на рисунке 4, можно интерпретировать как моделирование перехвата преследователем цели.

Ситуацию, представленную на рисунке 5, можно интерпретировать как моделирование процесса убегания цели от преследователя [23].

 

Рисунок 5 – Моделирование убегания цели от преследователя

 

Figure 5 - Simulation of the escape of a target from a pursuer

 

На рисунке 5 также показан подвижный треугольник , точки  и окружности Аполлония. Хотелось бы обратить ваше внимание на поведение точки , оно похоже на поведение точки возврата второго рода. Здесь как раз наблюдается схождение окружностей Аполлония к точке встречи преследователя и цели, но множество окружностей не является касательными в одной точке [23].

 

 

Заключение

Целью данной статьи являлось показать движение всех характеристических линий и точек в реализации метода параллельного сближения в задачах простого преследования на плоскости.

Показано, движение окружности Аполлония, ее схождение к точке встречи преследователя и цели. Показано, как сходится отрезок, соединяющий преследователя и цель, будучи параллелен самому себе.

При геометрическом моделировании методом параллельного сближения не обязательно вычислять параметры окружности Аполлония. Достаточно будет строить однопараметрическое множество параллельных линий, соединяющих преследователя и цель, окружность, с радиусом равным шагу преследователя, чтобы найти точку следующего положения преследователя.

Тексты программ выложены на ресурсе автора [18]. Ссылки на анимированное изображение, изготовленных по результатам  работы программ доступны на ресурсах [22], [23].

При написании  статьи приняты во внимание результаты, полученные в следующих источниках [9-17], [19-21].

 

Библиографический список

1.       Петросян Л.А. Дифференциальные игры преследования // Соросовский Образовательный Журнал. — 1995. — № 1.

2.       Петросян Л.А., Рихсиев Б.Б. Преследование на плоскости. — Москва: «Наука», 1961. — (Популярные лекции по математике). — ISBN 5-02-014154-2.

3.       Петросян Л. А., Зенкевич Н. А., Шевкопляс Е. В. Теория Игр. Изд-во «БХВ-Петербург», 2012. — 424 с.

4.       Петросян Л. А., Зенкевич Н. А., Семина Е. А. Теория игр. Москва, 1998. — 300 c.

5.       Петросян Л. А., Рихсиев Б. Б. Преследование на плоскости. Изд-во Наука, 1991. — 94 c.

6.       Петросян Л. А., Томский Г. В. Геометрия простого преследования. Изд-во Наука, 1983. — 143 c.

7.       Петросян Л. А., Зубов В. И. Математические методы в планировании. Изд-во ЛГУ, 1982. — 96 c.

8.       Петросян Л. А. Дифференциальные игры преследования. Изд-во ЛГУ, 1977. — 222 c.

9.       Айзекс Р. Дифференциальные игры. Москва: Мир, 1967.

10.    Бурдаков С. В., Сизов П. А. Алгоритмы управлением движения мобильным роботом в задаче преследования // Научно-технические ведомости Санкт-Петербургского государственного политехнического университета. Информатика. Телекоммуникации. Управление. 2014. № 6 (210). С. 49–58.

11.    Ахметжанов А. Р. Динамические игры преследования на поверхностях: автореферат диссертация на соискание учебной степени кандидата физико-математических наук .  Москва, 2019.  С. 28.

12.    Изместьев И. В., Ухоботов В. И. Задача преследования маломаневренных объектов с терминальным множеством в форме кольца.  //  Итоги науки и техн. Сер. Соврем. Мат. и ее прил. Темат. Обз., 2018, том 148, с. 25-31.

13.    Кузьмина Л. И., Осипов Ю. В. Расчет длины траектории для задачи преследования. // Вестник МГСУ, Моска, 2013. С. 20-26.

14.    Саматов  Б. Т. Задача преследования убегания при интегрально-геометрических ограничениях на управления преследователя. // Автомат. и телемех., 2013, выпуск 7, с. 17-28.

15.    Романников Д. О. пример решения минимаксной задачи преследования с использованием нейронных сетей. // Сборник научных трудов НГТУ, №2 (92).,  Новосибирск, 2018., с. 108-116.

16.    Пашко С. В. Эффективные стратегии преследования. Основанные на использовании функции Ляпунова. //  Доповiдi Нацiональної академiї наук  України, Киев,  2016,  №1.  С. 26-33.

17.    Пашко С. В. NP-трудность задач оптимизации коллективного преследования. / /  Материалы 8-й Международной конференции по программированию UkrPROG’2014,  Украина, Киев, 2014. С. 44-52.

18.    Программный код в системе MathCAD представлен URL: http://dubanov.exponenta.ru/books.htm.

19.    Ibragimov, G. Multi pursuer differential game of optimal approach with integral constraints on controls of players/G. Ibragimov, Norshakila Abd Rasid, A. Kuchkarov, F. Ismail//Taiwanese Journal of Mathematics. 2015. V. 19, № 3. P. 963–976

20.    Petrov, N. N. Group pursuit with phase constraints in recurrent Pontryagin‘s example/N.N. Petrov, N.A. Solov‘eva//International Journal of Pure and Applied Mathematics. 2015. V. 100,  2. P. 263–278.

21.     Ibragimov, G. A pursuit-evasion differential game with many pursuers and one evader/G. Ibragimov, N. A. Hussin//Malaysian Journal of Mathematical Sciences.  2010. V. 4, № 2.  P. 183–194.

22.    Анимированное изображение «Окружность Аполлонияhttps://www.youtube.com/watch?v=rsMGA1ICo7M

23.    Анимированное изображение «Окружность Аполлонияhttps://www.youtube.com/watch?v=hGieKXNiuz8

 

Сведения об авторах/ Authors

Дубанов Александр Анатольевич, к.т.н., доцент кафедры геометрии и методики преподавания математики ФГБОУ ВО Бурятский государственный университет, 670000, Республика Бурятия, г. Улан-Удэ, ул. Смолина, 24а;

Dubanov Alexander Anatolievich, Ph.D., associate professor of the Department of Geometry and Methods of Teaching Mathematics Buryat State University, 670000, Republic of Buryatia, Ulan-Ude, Smolin Street, 24a;