УДК 004.021

КИНЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЗАДАЧИ ПРЕСЛЕДОВАНИЯ МЕТОДОМ ПОГОНИ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ НА КРИВИЗНУ ТРАЕКТОРИИ ПРЕСЛЕДОВАТЕЛЯ
KINEMATIC MODEL OF THE PURSUIT PROBLEM USING THE CHASE METHOD WITH RESTRICTIONS ON THE CURVATURE OF THE PURSUER’S TRAJECTORY


А. А. Дубанов1, Т. В. Аюшеев2 
1Бурятский Государственный Университет, Улан-Удэ, Российская Федерация
2Восточно-Сибирский Государственный Университет Технологий и Управления, Улан-Удэ, Российская Федерация

A. A. Dubanov, T. V. Ausheev

1Buriat State University, Ulan-Ude, Russian Federation

2 East Siberian State University of Technology and Management, Ulan-Ude, Russian Federation

 

Аннотация – В данной статье рассматривается кинематическая, геометрическая модель задачи преследования на плоскости методом погони, где преследователь не может мгновенно изменять направление движения, двигаясь при этом с постоянной по модулю скоростью. Начальная скорость преследователя направлена в момент начала преследования не на преследуемую цель. Для того, чтобы вектор скорости преследователя по истечению некоторого времени был направлен на цель, нами разработан метод, который основывается на следовании траектории, соединяющей преследователя и цель. Данная траектория учитывает инертность преследователя в том плане, что радиус кривизны траектории не может быть меньше некоторого порогового значения. По материалам данной статьи написаны тестовые программы и изготовлено анимированное изображение.

Ключевые слова – преследование, уклонение,  убегание, моделирование

 

DOI: устанавливается издательством

I. Введение

Характерным для метода погони в задаче преследования на плоскости с постоянной скоростью является то, что вектор скорости преследователя точно совпадает с направлением на цель.  В такой постановке задача имеет как непрерывную модель для решения, так и квазидискретную. В непрерывной модели решение основывается на численном или аналитическом решении системы дифференциальных уравнений:

Где первое уравнение системы говорит о том, вектор скорости преследователя сонаправлен с вектором линии, соединяющей преследователя и цель. Второе уравнение системы говорит о постоянстве модуля скорости.

В качестве простого примера квазидискретной модели можно привести одну из итерационных схем, которая вычисляет координаты точек следующего положения преследователя.

Как видно из постановки задачи преследования методом погони с постоянной скоростью, вектор скорости преследователя должен быть всегда направлен на цель, даже момент начала преследования.

II. Постановка задачи

Допустим, в начальный момент времени скорость  преследователя не направлена на неподвижную цель  (Рис. 1). В силу того, в нашей модели приняты ограничения того, направление вектора скорости не может меняться мгновенно, и радиус кривизны траектории не может быть меньше некоторой величины, мы ввели минимальный радиус кривизны траектории .

Рис. 1 Моделирование траектории преследователя

 

Из рисунка 1 мы видим, чтобы достичь неподвижной цели , преследователь  должен пройти дугу  и перейти на прямолинейный сегмент .

Нашей задачей является разработка метода построения траектории преследователя , когда цель  находится в движении.

III. Теория

Рассмотрим итерационную схему , когда вектор скорости  преследователя направлен постоянно на цель (Рис. 2). Но точку  будем рассматривать точку пересечения прямой  с окружностью радиуса  с центром в точке .

 

Рис. 2 Скорость преследователя всегда направлена на цель

 

На рисунке 3 показан результат моделирования задачи преследования методом погони, согласно итерационной схемы, с нахождением точки пересечения окружности  и прямой , в системе компьютерной математики.

Такой подход к проектированию траектории не позволяет моделировать, когда скорость преследователя в момент начала преследования направлена не на преследователя.

Рис. 3 Результат моделирования преследования по методу погони

 

Рассмотрим следующую итерационную схему. Будем считать, что в момент времени  являются известными положение цели , положение преследователя  и векторное уравнение  прогнозируемой на данный момент времени траектории движения преследователя (Рис. 4).

Рис. 4 Моделирование траектории преследователя

 

В таком итерационном процессе нашей задачей является рассчитать  координаты  следующего шага преследователя и выполнить аффинные преобразования векторной функции   для того, чтобы найти выражения для функции .

Чтобы найти координаты  точки , необходимо решить уравнение  относительно параметра .

Когда мы разрабатывали модель итерационного процесса, мы задавали начальные координаты  и , начальный вектор скорости движения преследователя . Также определили векторную функцию  в момент начала преследования. На рисунке 1 это составная кривая из дуги  и прямолинейного сегмента , где параметром служит длина дуги этой кривой.

На  итерационном шаге происходит следующее:

1.      Строится окружность с центром в точке  радиуса . Точка пересечения этой окружности и траектории  будет точкой следующего шага преследователя .

2.      Потом находим точку пересечения  параметрической векторной функции  с окружностью с центром в точке  и радиуса .

3.      Затем, формируем локальный базис  центром координат в точке  и пересчитываем функцию . В базисе  она будет выглядеть так . Компоненты базиса   такие:

               Вид функции  будет таким:

4.      Сформируем базис  с центром координат в точке . Компоненты базиса  будут выглядеть так:

Отметим очень важный момент, что . Отсюда, мы можем утверждать, что локальное представление в локальном базисе  с центром в точке  кривой  будет совпадать с локальным представлением  базиса    .

5.      Базис мировой системы координат  в базисе  выглядит так:

Следовательно, уравнение линии  будет выражаться следующим образом:

Итого на  шаге итерации мы имеем следующее: шаг  выбирается целью, шаг преследователя  рассчитывается как точка пересечения окружности  и ранее рассчитанной векторной параметрической линии , на основе уже имеющихся данных рассчитывается новая прогнозируемая траектория преследователя .

Рис. 5 Кинематическая модель метода погони

 

На основе вышеизложенного материала была написана тестовая программа, которая на простом примере показывает, как можно подвести к методу погони, когда в момент начала преследования вектор скорости преследователя направлен не на цель.

Траектория  преследователя при этом имеет ограничения на кривизну. Радиус кривизны траектории не может быть меньше некоторого порогового значения.

Рисунок 5 как раз демонстрирует результаты работы программы. Рисунок 5 дополнен ссылкой на анимированное   изображение, где можно в динамике наблюдать процесс преследования цели по предопределенной траектории.

 

VI. Выводы и заключение

В настоящей статье рассматривается кинематическая модель задачи преследования на плоскости методом погони. Предполагается, что данный метод преследования может быть использован разработчиками программного обеспечения при разработке робототехнических комплексов, оснащенных элементами искусственного интеллекта. Этот метод возможен для использования при разработке геометрической модели группового преследования с одновременным достижением цели или целей. По предложенным моделям и алгоритмам написаны тестовые программы расчета траекторий в системе компьютерной математики MathCAD. Тексты программ выложены на ресурсе автора [18]. Ссылки на анимированное изображение, изготовленных по результатам  работы программ доступны на ресурсах [22]. При написании  статьи приняты во внимание результаты, полученные в следующих источниках [9-17], [19-21].

 

Список литературы

1.        Петросян Л. А. Дифференциальные игры преследования // Соросовский Образовательный Журнал. — 1995. — № 1.

2.        Петросян Л. А., Рихсиев Б. Б. Преследование на плоскости. — Москва: «Наука», 1961. — (Популярные лекции по математике). — ISBN 5-02-014154-2.

3.        Петросян Л. А., Зенкевич Н. А., Шевкопляс Е. В. Теория Игр. Изд-во «БХВ-Петербург», 2012. — 424 с.

4.        Петросян Л. А., Зенкевич Н. А., Семина Е. А. Теория игр. Москва, 1998. — 300 c.

5.        Петросян Л. А., Рихсиев Б. Б. Преследование на плоскости. Изд-во Наука, 1991. — 94 c.

6.        Петросян Л. А., Томский Г. В. Геометрия простого преследования. Изд-во Наука, 1983. — 143 c.

7.        Петросян Л. А., Зубов В. И. Математические методы в планировании. Изд-во ЛГУ, 1982. — 96 c.

8.        Петросян Л. А. Дифференциальные игры преследования. Изд-во ЛГУ, 1977. — 222 c.

9.                Айзекс Р. Дифференциальные игры. Москва: Мир, 1967.

10.     Бурдаков С. В., Сизов П. А. Алгоритмы управлением движения мобильным роботом в задаче преследования // Научно-технические ведомости Санкт-Петербургского государственного политехнического университета. Информатика. Телекоммуникации. Управление. 2014. № 6 (210). С. 49–58.

11.     Ахметжанов А. Р. Динамические игры преследования на поверхностях: автореферат диссертация на соискание учебной степени кандидата физико-математических наук.  Москва, 2019.  С. 28.

12.     Изместьев И. В., Ухоботов В. И. Задача преследования маломаневренных объектов с терминальным множеством в форме кольца.  //  Итоги науки и техн. Сер. Соврем. Мат. и ее прил. Темат. Обз., 2018, том 148, С. 25-31.

13.     Кузьмина Л. И., Осипов Ю. В. Расчет длины траектории для задачи преследования. // Вестник МГСУ, Моска, 2013. С. 20-26.

14.     Саматов  Б. Т. Задача преследования убегания при интегрально-геометрических ограничениях на управления преследователя. // Автомат. и телемех., 2013, выпуск 7, С. 17-28.

15.     Романников Д. О. пример решения минимаксной задачи преследования с использованием нейронных сетей. // Сборник научных трудов НГТУ, №2 (92).,  Новосибирск, 2018., С. 108-116.

16.     Пашко С. В. Эффективные стратегии преследования. Основанные на использовании функции Ляпунова. //  Доповiдi Нацiональної академiї наук  України, Киев,  2016,  №1.  С. 26-33.

17.     Пашко С. В. NP-трудность задач оптимизации коллективного преследования. / /  Материалы 8-й Международной конференции по программированию UkrPROG’2014,  Украина, Киев, 2014. С. 44-52.

18.     Программный код в системе MathCAD представлен URL: http://dubanov.exponenta.ru/books.htm.

19.     Ibragimov, G. Multi pursuer differential game of optimal approach with integral constraints on controls of players/G. Ibragimov, Norshakila Abd Rasid, A. Kuchkarov, F. Ismail//Taiwanese Journal of Mathematics. 2015. V. 19, № 3. P. 963–976

20.     Petrov, N. N. Group pursuit with phase constraints in recurrent Pontryagin‘s example/N.N. Petrov, N.A. Solov‘eva//International Journal of Pure and Applied Mathematics. 2015. V. 100, № 2. P. 263–278.

21.      Ibragimov, G. A pursuit-evasion differential game with many pursuers and one evader/G. Ibragimov, N. A. Hussin//Malaysian Journal of Mathematical Sciences.  2010. V. 4, № 2.  P. 183–194.

22.     Анимированное изображение «Метод погони на плоскости с ограничениями на кривизну» https://www.youtube.com/watch?v=UQ5bVKjVqZ4