В системе AutoCAD формируются файлы горизонталей с заданными высотами, затем происходит экспорт в текстовые файлы l1, l2, l3 , l4, l5. Массивы точек помещаются в каталог "C:\WorkMathCAD". После этого производим полиномиальную регрессию от двух переменных, чтобы получить поверхность вида .


Ввод точек 
 
  Ввод дополнительных точек с нулевой аппликатой по краям моделируемого ландшафта. Данный момент не является принципиальным.
 
 
  Покоординатное формирование единых массивов точек
 
 
  Формирование трехстрочной матрицы массива точек
 Поскольку у нас строится поверхность вида , то и регрессия (полиномиальная) производится именно для такого случая


Результат выполнения регрессии. Построена поверхность вида
Визуализация графика поверхности, полученной в результате регрессии
Построение на заданном сегменте поверхности равномерной сетки
 



 В дальнейшем, при расчете траектории "Лисы" используются значения производных  

, . Поэтому, на равномерной сетке вычисляются значения первых производных и

После того, как массивы первых производных сформированы , по полученным значениям производится двумерная сплайн-интерполяция и моделируются поверхности и
  Аналогичным образом формируется траектория движения "Кролика" (файл TrLine1.txt)
 
 
Аппликата траектории "Кролика" здесь равна 0 потому, что в дальнейшем произойдет присвоение

 
Здесь вводится формальный параметр , где ( - порядковый номер введенных точек упорядоченного массива траектории движения "Кролика")
     
     

  Сплайн-интерполяция абциссы  и ординаты   в зависимости от формального параметра
 
 

Поскольку "Кролик" перемещается по поверхности , то

 

Уравнение траектории "Кролика"

 

Формирование графического представления траектории движения "Кролика"


 

Расчет массива первой производной траектории  движения "Кролика" от формального параметра .

Была реализована классическая трехточечная схема

 

На основе полученного массива первой производной  после проведения сплайн-интерполяции была получена следующая функция

 
 
 
 
 
     

Производится перепараметризация траектории движения "Кролика" не от формального параметра , а от длины дуги . Это мы можем произвести из следующей формулы:

 

       

Якобиан для численного решения дифференциального уравнения, указанного выше


Для того, чтобы искать решение данного уравнения, необходимо знать приблизительную длину дуги траектории "Кролика". Это значение получим из подсчета накопленных длин хорд узловых точек траектории движения "Кролика"
 

 
 

Численное решение дифференциального уравнения нахождения зависимости формального параметра от длины дуги траектории движения "Кролика"

  Расчет коэффициентов сплайн-интерполяции для построения функциональной зависимости 
  Вывод зависимости
 
   
   

Скорость движения "Кролика" (скаляр)

Ввод длины траектории "Кролика" , на которой будут рассчитываться координаты Поскольку, нами предложена модель, где "Кролик" движется с постоянной скоростью независимо от рельефа местности, то общее время движения составляет

Подготовка к анимации. Вводится общее число кадров (500). По указанному адресу Вы можете посмотреть клип, он подготовлен со следующими параметрами: кодек-, число кадров -, опорный кадр -


http://www.youtube.com/watch?v=Xv_q_EgdUX4
 
         

  Так как длина дуги траектории движения "Кролика" может быть представлена в виде   , где - время движения, то мы можем записать уравнение движения "Кролика" в зависимости от времени . Эти координаты будут выводится в анимированном изображении при выводе на экран
 
 
 


  Проекция на плоскость траектории движения "Кролика"
 
  Вводится скорость движения "Лисы" . Как видим, она в два раза меньше скорости "Кролика"

                          

                Первое уравнение данной системы означает то, что в проекция вектора скорости "Лисы" на плоскость направлена на проекцию текущего положения "Кролика".

                Второе уравнение означает то, что скорость передвижения "Лисы" равна постоянно величине .

                Третье уравнение получается из дифференцирования уравнения по времени . Фактически, это означает то, что точка траектории "Лисы" принадлежит поверхности (ландшафт)


 

 

Указанная выше система уравнений имеет явное решение относительно переменных , ,

 
 
 

Якобиан для вычисления координат траектории движения "Лисы"

записан в терминологии "MathCAD"

 

     

Постановка начальных условий для задачи Коши. (Стартовая позиция "Лисы")


 

Решение задачи Коши методом Рунге-Кутта 4-го порядка стандартными средствами "MathCAD"

Получены упорядоченные массивы точек траектории движения "Лисы"

 

Расчет коэффициентов сплайн-интерполяции для точек траектории "Лисы"

 
 
 

Координатные функции точек траектории "Лисы"  после проведения сплайн-интерполяции




 

Данные точки траектории движения "Лисы" будут выводится на анимированном изображении

 
   
   

 

 

 

Отслеживается расстояние между "Лисой" и "Кроликом"

 

   

Итоговый результат работы программы. На экран выводится траектории движения "Лисы" и "Кролика", "ландшафт местности" и взаимное расположение "Лисы" и "Кролика" в зависимости от "времени". Непосредственно само анимированное изображение Вы можете посмотреть по данной ссылке: http://www.youtube.com/watch?v=dsfkqSlZGk8